kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（选择题） 9．若可导函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)<2 f(x)$ ，则当 $b>a>0$ 时，有 () 。 （A）$b^{2} f(a)>a^{2} f(b)$ （B）$b^{2} f(\ln a)>a^{2} f(\ln b)$ （C）$b^{2} f(a)
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：由$f'(x)<2f(x)$，令$g(x)=f(x)e^{-2x}$，则$g'(x)=[f'(x)-2f(x)]e^{-2x}<0$，故$g(x)$严格递减。 步骤2：由$b>a>0$得$g(a)>g(b)$，即$f(a)e^{-2a}>f(b)e^{-2b}$，整理得$e^{2b}f(a)>e^{2a}f(b)$，即$b^2f(a)>a^2f(b)$当且仅当$e^{2b}$与$b^2$关系？实际上需构造$\displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{x^2}$，$\displaystyle h'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{x^3}<0$，故$h(a)>h(b)$，即$\displaystyle \frac{f(a)}{a^2}>\frac{f(b)}{b^2}$，得$b^2f(a)>a^2f(b)$，A正确。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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