kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（填空题） 10．设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处一阶导数连续，且 $f^{\prime}(1)=2$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{\ln x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：由导数定义及极限运算，$\displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{\ln x}=\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\cdot\frac{x-1}{\ln x}$。 步骤2：$\displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)=2$，$\displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{x-1}{\ln x}=1$（等价无穷小），故原极限$=2\times1=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将极限转化为导数定义形式
将原极限拆分为两个极限的乘积：\(\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{\ln x} = \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{\ln x}\)
公式：\frac{f(x)-f(1)}{\ln x} = \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{\ln x}
提示：注意拆分后第一个极限是导数定义的形式，第二个极限是等价无穷小替换的形式。
步骤 2/4
目标：计算第一个极限
由导数定义，\(\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = f'(1) = 2\)
公式：\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = f'(1)
提示：题目条件给出f'(1)=2，直接代入。
步骤 3/4
目标：计算第二个极限
利用等价无穷小：当\(x\to1\)时，\(\ln x \sim x-1\)，所以\(\lim_{x\to1^+}\frac{x-1}{\ln x} = 1\)
公式：\lim_{x\to1^+}\frac{x-1}{\ln x} = 1
提示：等价无穷小替换：\(\ln(1+u) \sim u\)，令u=x-1。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
原极限 = 2 × 1 = 2
提示：乘积的极限等于极限的乘积。
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