kaoyan1basic 高等数学 第10题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t, x \geqslant 0$ ． （1）证明： $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t=x f^{\prime}[x \cdot \theta(x)]$ ，且 $\theta(x)$ 唯一，其中 $0<\theta(x)<1, x>0$ ； （2）求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)$ ．

💡 答案解析

**答案**：（1）证明见解析；（2）$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： （1）由积分中值定理，存在$\theta(x)\in(0,1)$使得$\int_0^x e^{t^2}dt=x e^{[\theta(x)x]^2}$。又$f'(x)=e^{x^2}$，故$f'[x\cdot\theta(x)]=e^{[\theta(x)x]^2}$，因此$\int_0^x e^{t^2}dt=x f'[x\cdot\theta(x)]$。由于$e^{t^2}$严格单调，$\theta(x)$唯一。 （2）由(1)得$\int_0^x e^{t^2}dt=x e^{\theta^2(x)x^2}$，即$\displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x e^{t^2}dt=e^{\theta^2(x)x^2}$。左边极限为$1$，故$\lim_{x\to0^+}e^{\theta^2(x)x^2}=1$，得$\lim_{x\to0^+}\theta^2(x)x^2=0$，无法直接得$\theta(x)$极限。利用泰勒展开：$\displaystyle \int_0^x e^{t^2}dt=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，$e^{\theta^2 x^2}=1+\theta^2 x^2+o(x^2)$，代入得$\displaystyle x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)=x(1+\theta^2 x^2+o(x^2))$，即$\displaystyle x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)=x+\theta^2 x^3+o(x^3)$，比较得$\displaystyle \theta^2=\frac{1}{3}$，故$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\theta(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}$。修正：由$e^{\theta^2 x^2}=1+\theta^2 x^2+o(x^2)$，左边$\displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x e^{t^2}dt=1+\frac{x^2}{3}+o(x^2)$，故$\displaystyle 1+\frac{x^2}{3}+o(x^2)=1+\theta^2 x^2+o(x^2)$，得$\displaystyle \theta^2=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \lim\theta(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明存在唯一的θ(x)使得积分等式成立
由积分中值定理，存在θ(x)∈(0,1)使得∫_0^x e^{t^2} dt = x e^{[θ(x)x]^2}。又f'(x)=e^{x^2}，故f'[x·θ(x)]=e^{[θ(x)x]^2}，因此∫_0^x e^{t^2} dt = x f'[x·θ(x)]。由于e^{t^2}严格单调，θ(x)唯一。
公式：∫_0^x e^{t^2} dt = x e^{[θ(x)x]^2}
提示：注意积分中值定理的条件和f'(x)的表达式。
步骤 2/2
目标：求lim_{x→0+} θ(x)
由(1)得∫_0^x e^{t^2} dt = x e^{θ^2(x)x^2}，即(1/x)∫_0^x e^{t^2} dt = e^{θ^2(x)x^2}。左边极限为1，故lim_{x→0+} e^{θ^2(x)x^2}=1，得lim_{x→0+} θ^2(x)x^2=0。利用泰勒展开：∫_0^x e^{t^2} dt = x + x^3/3 + o(x^3)，e^{θ^2 x^2} = 1 + θ^2 x^2 + o(x^2)。代入得x + x^3/3 + o(x^3) = x(1 + θ^2 x^2 + o(x^2))，即x + x^3/3 + o(x^3) = x + θ^2 x^3 + o(x^3)。比较得θ^2 = 1/3，故lim_{x→0+} θ(x) = 1/√3。
公式：∫_0^x e^{t^2} dt = x + x^3/3 + o(x^3); e^{θ^2 x^2} = 1 + θ^2 x^2 + o(x^2)
提示：使用泰勒展开时注意阶数，比较系数得到θ^2。

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