kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $f^{\prime}(1)=2$ ，计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{\ln x}$ ，并指出与第 10 题的区别．
💡 答案解析
**答案**：$2$；区别：第10题利用积分中值定理和泰勒展开求$\theta(x)$极限，本题直接利用导数定义和等价无穷小。 **解析**： 步骤1：$\displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{\ln x}=\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\cdot\frac{x-1}{\ln x}=f'(1)\cdot1=2$。 步骤2：与第10题的区别：第10题涉及积分上限函数和参数$\theta(x)$的极限，需用泰勒展开；本题仅需导数定义和极限运算。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将极限转化为导数定义形式
将原极限拆分为两个极限的乘积：
$$\lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{\ln x} = \lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{\ln x}$$
公式：$$\frac{f(x)-f(1)}{\ln x} = \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{\ln x}$$
提示：注意拆分后第一个因子是导数定义的形式，第二个因子是等价无穷小替换的形式。
步骤 2/5
目标：计算第一个极限
由导数定义，$\lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = f'(1) = 2$
公式：$$\lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = f'(1)$$
提示：这里要求$f$在$x=1$处可导，题目已给出$f'(1)=2$。
步骤 3/5
目标：计算第二个极限
利用等价无穷小：当$x\to 1$时，$\ln x \sim x-1$，所以$\lim_{x\to 1^+}\frac{x-1}{\ln x} = 1$
公式：$$\lim_{x\to 1^+}\frac{x-1}{\ln x} = 1$$
提示：等价无穷小替换：$\ln(1+u) \sim u$，令$u=x-1$。
步骤 4/5
目标：得出最终结果
原极限 = $2 \times 1 = 2$
公式：$$\lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{\ln x} = 2$$
提示：注意极限是右极限，但结果与左右极限无关。
步骤 5/5
目标：指出与第10题的区别
第10题涉及积分上限函数和参数$\theta(x)$的极限，需用泰勒展开；本题仅需导数定义和极限运算。
提示：区别在于第10题更复杂，需要积分中值定理和泰勒展开，而本题直接利用导数定义和等价无穷小即可。
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