kaoyan1basic 高等数学 第11题

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📝 题目

### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设 $f(x)$ 在 $[2,4]$ 上一阶可导且 $f^{\prime}(x) \geqslant M>0, f(2)>0$ ．证明： （1）对任意的 $x \in[3,4]$ ，均有 $f(x)>M$ ； （2）存在 $\xi \in(3,4)$ ，使得 $\displaystyle f(\hat{\xi})>M \cdot \frac{\mathrm{e}^{\xi-3}}{\mathrm{e}-1}$ 。

💡 答案解析

**答案**：证明见解析 **解析**： （1）由$f'(x)\geq M>0$，对任意$x\in[3,4]$，在$[2,x]$上应用拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(2,x)$使得$f(x)-f(2)=f'(\xi)(x-2)\geq M(x-2)$，故$f(x)\geq f(2)+M(x-2)>M(x-2)\geq M$（因$x\geq3$时$x-2\geq1$），所以$f(x)>M$。 （2）考虑函数$g(x)=f(x)e^{-x}$，则$g'(x)=[f'(x)-f(x)]e^{-x}$。由(1)知$f(x)>M$，但无法直接得$g'(x)$符号。构造$h(x)=f(x)e^{-Mx}$，$h'(x)=[f'(x)-Mf(x)]e^{-Mx}\geq M(1-f(x))e^{-Mx}$，不便于处理。改用积分：由$f'(x)\geq M$，积分得$f(x)\geq f(3)+M(x-3)$，取$x=4$得$f(4)\geq f(3)+M$。需证存在$\xi$使$\displaystyle f(\xi)>M\cdot\frac{e^{\xi-3}}{e-1}$，即$\displaystyle \frac{f(\xi)}{e^{\xi-3}}>\frac{M}{e-1}$。令$\varphi(x)=f(x)e^{-x}$，则$\varphi'(x)=[f'(x)-f(x)]e^{-x}$，由$f'(x)\geq M$，$f(x)$有下界，但无法直接比较。利用反证法或介值定理可证。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明对任意x∈[3,4]，有f(x)>M
对任意x∈[3,4]，在区间[2,x]上应用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(2,x)使得f(x)-f(2)=f'(ξ)(x-2)。由条件f'(ξ)≥M，得f(x)≥f(2)+M(x-2)。由于f(2)>0且x-2≥1，故f(x)>M(x-2)≥M。
公式：f(x)-f(2)=f'(\xi)(x-2), \quad f'(\xi)\geq M
提示：注意x≥3时x-2≥1，且f(2)>0可加强不等式。
步骤 2/2
目标：证明存在ξ∈(3,4)使得f(ξ)>M·e^{ξ-3}/(e-1)
考虑函数g(x)=f(x)e^{-x}，则g'(x)=[f'(x)-f(x)]e^{-x}。由(1)知f(x)>M，但无法直接判断g'(x)符号。改用反证法：假设对任意x∈[3,4]有f(x)≤M·e^{x-3}/(e-1)，则积分得∫_3^4 f(x)dx ≤ M/(e-1)∫_3^4 e^{x-3}dx = M。另一方面，由f'(x)≥M积分得f(x)≥f(3)+M(x-3)，取x=4得f(4)≥f(3)+M。再积分∫_3^4 f(x)dx ≥ ∫_3^4 [f(3)+M(x-3)]dx = f(3)+M/2。结合f(3)>M（由(1)）得∫_3^4 f(x)dx > M+M/2 > M，矛盾。故假设不成立，存在ξ∈(3,4)使f(ξ)>M·e^{ξ-3}/(e-1)。
公式：\int_3^4 f(x)dx \leq M \quad \text{与} \quad \int_3^4 f(x)dx > M \text{矛盾}
提示：反证法结合积分不等式，注意利用(1)的结论f(3)>M。

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