kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（解答题） 12．（1）将 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开成一阶带拉格朗日余项的泰勒公式； （2）证明 $\displaystyle \left|\frac{\sin x}{x}-1\right| \leqslant \frac{1}{2}|x|, x \neq 0$ 。
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \sin x=x-\frac{\cos(\theta x)}{6}x^3$，$\theta\in(0,1)$；（2）证明见解析 **解析**： （1）$\sin x$在$x=0$处的一阶带拉格朗日余项的泰勒公式为：$\displaystyle \sin x=x-\frac{\sin(\theta x)}{2!}x^2$？更正：$\displaystyle \sin x=x-\frac{\cos(\xi)}{3!}x^3$，其中$\xi$介于0与$x$之间，即$\displaystyle \sin x=x-\frac{\cos(\theta x)}{6}x^3$，$\theta\in(0,1)$。 （2）由(1)，$\displaystyle \frac{\sin x}{x}-1=-\frac{\cos(\theta x)}{6}x^2$，故$\displaystyle \left|\frac{\sin x}{x}-1\right|=\frac{|\cos(\theta x)|}{6}x^2\leq\frac{1}{6}x^2$，但需证$\displaystyle \leq\frac{1}{2}|x|$，当$|x|$较小时$\displaystyle \frac{1}{6}x^2\leq\frac{1}{2}|x|$即$|x|\leq3$成立，对任意$x\neq0$，若$|x|>3$，则$\displaystyle \frac{1}{6}x^2>\frac{1}{2}|x|$，但$\displaystyle \left|\frac{\sin x}{x}-1\right|\leq\frac{1}{|x|}+1$，需另法。直接用拉格朗日余项：$\displaystyle \sin x=x-\frac{\sin\xi}{2}x^2$？一阶泰勒公式：$\sin x=x+R_1(x)$，$\displaystyle R_1(x)=\frac{\sin^{(2)}(\xi)}{2!}x^2=-\frac{\sin\xi}{2}x^2$，故$\displaystyle \left|\frac{\sin x}{x}-1\right|=\frac{|\sin\xi|}{2}|x|\leq\frac{1}{2}|x|$。 **难度**：★★★☆☆