kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设函数 $y=f(x)$ 在区间 $(\alpha, \beta)$ 内二阶可导，且其图像在 $(\alpha, \beta)$ 内有三个点满足关系 $y= a x^{2}+b x+c$ 。证明：必然存在一个点 $\xi \in(\alpha, \beta)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=2 a$ 。
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：设三个点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$，满足$y_i=ax_i^2+bx_i+c$，且$y_i=f(x_i)$，$i=1,2,3$。令$g(x)=f(x)-(ax^2+bx+c)$，则$g(x_1)=g(x_2)=g(x_3)=0$。 步骤2：由罗尔定理，存在$\xi_1\in(x_1,x_2)$，$\xi_2\in(x_2,x_3)$使得$g'(\xi_1)=g'(\xi_2)=0$。再由罗尔定理，存在$\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(\alpha,\beta)$使得$g''(\xi)=0$，即$f''(\xi)-2a=0$，故$f''(\xi)=2a$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造辅助函数并利用已知条件得到三个零点
设三个点为 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)，满足 yi = a xi^2 + b xi + c，且 yi = f(xi)，i=1,2,3。令 g(x) = f(x) - (a x^2 + b x + c)，则 g(x1)=g(x2)=g(x3)=0。
公式：g(x) = f(x) - (a x^2 + b x + c)
提示：注意构造的辅助函数 g(x) 在三个点处为零，为应用罗尔定理创造条件。
步骤 2/3
目标：应用罗尔定理得到一阶导数的零点
由罗尔定理，存在 ξ1 ∈ (x1, x2)，ξ2 ∈ (x2, x3) 使得 g'(ξ1)=0，g'(ξ2)=0。
公式：罗尔定理：若函数在闭区间连续、开区间可导且端点值相等，则存在一点导数为零。
提示：注意区间端点值相等是应用罗尔定理的关键。
步骤 3/3
目标：再次应用罗尔定理得到二阶导数的零点
再由罗尔定理，存在 ξ ∈ (ξ1, ξ2) ⊂ (α, β) 使得 g''(ξ)=0，即 f''(ξ) - 2a = 0，故 f''(ξ)=2a。
公式：g''(x) = f''(x) - 2a
提示：注意 g''(x) 的表达式，由 g'(ξ1)=g'(ξ2)=0 可推出存在 ξ 使 g''(ξ)=0。
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