kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．求曲线 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$ 与曲线 $y=x^{3}-3 x$ 的交点个数．
💡 答案解析
**答案**：3个 **解析**： 步骤1：令$\displaystyle f(x)=e^{-\frac{x}{2}}-(x^3-3x)$，求交点即求$f(x)=0$的实根个数。$\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}-3x^2+3$。 步骤2：分析$f(x)$的单调性和极值。$f(-\infty)=+\infty$（因$\displaystyle e^{-\frac{x}{2}}\to+\infty$，$-x^3\to+\infty$），$f(+\infty)=-\infty$。$f(0)=1>0$，$f(1)=e^{-0.5}-(-2)=e^{-0.5}+2>0$，$f(2)=e^{-1}-(8-6)=e^{-1}-2<0$，$f(-1)=e^{0.5}-(-1+3)=e^{0.5}-2>0$，$f(-2)=e-(-8+6)=e+2>0$。由连续性及单调性，$f(x)$在$(-\infty,-2)$内有一根，在$(-2,0)$内可能无根（因$f(-2)>0,f(0)>0$），在$(0,2)$内有一根（$f(0)>0,f(2)<0$），在$(2,+\infty)$内有一根（$f(2)<0,f(+\infty)=-\infty$，但需检查单调性）。实际$f'(x)$符号变化，$f(x)$先减后增再减，共有3个零点。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造函数并求导
令 f(x) = e^{-x/2} - (x^3 - 3x)，则求交点个数等价于求 f(x)=0 的实根个数。求导得 f'(x) = -1/2 e^{-x/2} - 3x^2 + 3。
公式：f(x)=e^{-x/2}-x^3+3x, f'(x)=-1/2 e^{-x/2}-3x^2+3
提示：注意指数函数和多项式的导数公式。
步骤 2/3
目标：分析端点极限和关键点函数值
计算极限：x→-∞时，e^{-x/2}→+∞，-x^3→+∞，故 f(x)→+∞；x→+∞时，e^{-x/2}→0，-x^3→-∞，故 f(x)→-∞。计算关键点：f(0)=1>0，f(1)=e^{-0.5}+2>0，f(2)=e^{-1}-2<0，f(-1)=e^{0.5}-2>0，f(-2)=e+2>0。
公式：f(0)=1, f(1)=e^{-0.5}+2, f(2)=e^{-1}-2, f(-1)=e^{0.5}-2, f(-2)=e+2
提示：利用指数函数和幂函数的增长速度判断极限。
步骤 3/3
目标：利用零点定理和单调性确定根的存在区间
由 f(-2)>0, f(-1)>0，且 f(-∞)=+∞，在(-∞,-2)内 f(x) 可能递减后递增，但由 f(-2)>0 和 f(-∞)=+∞，结合连续性，在(-∞,-2)内至少有一个根（实际上 f(x) 在(-∞,-2)内单调递减，故恰有一个根）。在(-2,0)内，f(-2)>0, f(0)>0，但 f(x) 可能先减后增，需进一步分析导数。在(0,2)内，f(0)>0, f(2)<0，由零点定理至少有一个根。在(2,+∞)内，f(2)<0, f(+∞)=-∞，但需注意 f(x) 可能先增后减，实际上 f(x) 在(2,+∞)内单调递减，故恰有一个根。综上，共有3个根。
提示：零点定理：若 f(a)f(b)<0，则存在 c∈(a,b) 使 f(c)=0。结合单调性确定唯一性。
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