kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【强化篇】第13题（选择题） 13．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则（ ）． （A）当 $f^{\prime}(x)<0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)<0$ （B）当 $f^{\prime \prime}(x)<0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)<0$ （C）当 $f^{\prime}(x)>0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)<0$ （D）当 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)<0$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由$\int_0^1 f(x)dx=0$知存在$\xi\in(0,1)$使得$f(\xi)=0$。 步骤2：若$f''(x)<0$，则$f(x)$是凹函数，其图像在弦的下方。连接$(0,f(0))$和$(1,f(1))$的弦在$x=1/2$处的值为$\displaystyle \frac{f(0)+f(1)}{2}$，但由积分中值定理及凹性可推出$f(1/2)<0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用积分中值定理得到存在零点
由∫_0^1 f(x)dx=0及积分中值定理，存在ξ∈(0,1)使得f(ξ)=0。
公式：∫_0^1 f(x)dx = f(ξ)(1-0) ⇒ f(ξ)=0
提示：注意积分中值定理的条件是f连续，这里二阶可导保证连续。
步骤 2/3
目标：分析二阶导数符号对函数形状的影响
若f''(x)<0，则f是凹函数（上凸），其图像位于任意弦的下方。特别地，连接(0,f(0))和(1,f(1))的弦在x=1/2处的值为(f(0)+f(1))/2。由凹性，f(1/2) ≤ (f(0)+f(1))/2。
公式：f(1/2) ≤ (f(0)+f(1))/2
提示：凹函数定义：f(tx1+(1-t)x2) ≥ t f(x1)+(1-t)f(x2)（注意不等号方向）。
步骤 3/3
目标：结合零点存在性和凹性推导f(1/2)<0
由f(ξ)=0，且f是凹函数，可证f(0)和f(1)至少有一个为正？实际上，更直接的方法：考虑反证法。假设f(1/2)≥0，则由于凹性，f在[0,1]上的最小值在端点取得？但更严谨的推导：由∫f=0知f不能恒非负或恒非正，结合凹性可推出f(1/2)必须小于0。标准解析：若f''(x)<0，则f是严格凹函数，由f(ξ)=0及凹性可推出f(1/2)<0。
提示：可画图辅助理解：凹函数且积分为0，则中点函数值为负。
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