kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：由条件$x f'(x)
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：转化条件
由条件 x f'(x) < f(x) 得 x f'(x) - f(x) < 0，即 (x f'(x) - f(x))/x^2 < 0，注意到 (f(x)/x)' = (x f'(x) - f(x))/x^2，因此 (f(x)/x)' < 0。
公式：(f(x)/x)' = (x f'(x) - f(x))/x^2
提示：构造导数形式，将不等式转化为函数单调性。
步骤 2/4
目标：判断单调性
由于 (f(x)/x)' < 0，所以函数 f(x)/x 在区间 (a,b) 内严格单调递减。
提示：导数小于0，函数递减。
步骤 3/4
目标：应用单调性比较大小
对于任意 x ∈ (a,b)，有 a < x < b。由递减性，当 x > a 时，f(x)/x < f(a)/a，即 a f(x) < x f(a)；当 x < b 时，f(x)/x > f(b)/b，即 b f(x) > x f(b)。
公式：a f(x) < x f(a); b f(x) > x f(b)
提示：注意不等号方向与单调性一致。
步骤 4/4
目标：匹配选项
选项A为 a f(x) > x f(a)，与推导结果相反，故A错误；选项B为 b f(x) > x f(b)，与推导一致，故B正确；选项C和D无法由单调性直接得出。
提示：检查每个选项是否与推导结果相符。
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