kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【强化篇】第14题（解答题） 14．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $f(0)=f(1)=0$ ，在 $(0,1)$ 内二阶可导且 $f^{\prime \prime}(x)<0$ ，记 $M= \max _{0 \leqslant x \leqslant 1}\{f(x)\}$. （1）证明：对任意正整数 $n$ ，存在唯一的 $x_{n} \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{n}\right)=\frac{M}{n}$ ； （2）对（1）中得到的 $\left\{x_{n}\right\}$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=M$ ．
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： （1）步骤1：由$f''(x)<0$知$f'(x)$严格递减。$f(0)=f(1)=0$且$f$连续，存在最大值点$c\in(0,1)$使$f(c)=M>0$，且$f'(c)=0$。 步骤2：对任意正整数$n$，$\displaystyle 0<\frac{M}{n}\leq M$，由$f'(x)$连续且严格递减，$f'(c)=0$，$f'(0)>0$（否则$f$在0附近递减矛盾），故存在唯一$x_n\in(0,c)$使$\displaystyle f'(x_n)=\frac{M}{n}$。 （2）步骤1：$x_n$随$n$增大而减小（因$f'$递减，$\displaystyle \frac{M}{n}$减小对应$x_n$增大），故$\{x_n\}$单调递增有上界$c$，极限存在，记$\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$。 步骤2：由$\displaystyle f'(x_n)=\frac{M}{n}\to0$，得$f'(x_0)=0$，故$x_0=c$，从而$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(c)=M$。 **难度**：★★★★☆