kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（选择题） 15．方程 $x^{4}+4 x+b=0$ 有两个不等的实根，则 $b$ 的取值满足 ． （A）$b<3$ （B）$b>3$ （C）$b<-3$ （D）$b>-3$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：令$f(x)=x^4+4x+b$，$f'(x)=4x^3+4=4(x^3+1)$，驻点$x=-1$。 步骤2：$f(-1)=1-4+b=b-3$为极小值。方程有两个不等的实根当且仅当极小值小于0，即$b-3<0$，得$b<3$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析函数极值
令 f(x)=x^4+4x+b，求导得 f'(x)=4x^3+4=4(x^3+1)，令 f'(x)=0 得驻点 x=-1。
公式：f'(x)=4x^3+4
提示：注意导数因式分解，找到唯一驻点。
步骤 2/3
目标：计算极小值
计算 f(-1)=(-1)^4+4*(-1)+b=1-4+b=b-3。由于 f''(x)=12x^2，f''(-1)=12>0，故 x=-1 为极小值点，极小值为 b-3。
公式：f(-1)=b-3
提示：二阶导数大于0确认极小值。
步骤 3/3
目标：根据实根个数确定条件
方程有两个不等的实根，则极小值必须小于0，即 b-3<0，解得 b<3。
公式：b-3<0
提示：对于四次函数，极小值小于0时，函数图像与x轴有两个交点。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。