kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【强化篇】第15题（选择题） 15．设函数 $f(x)=x-\operatorname{eln} x$ ，则 $f(x)$ 的零点个数为 () 。 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$f(x)=x-e\ln x$，定义域$(0,+\infty)$，$\displaystyle f'(x)=1-\frac{e}{x}$，驻点$x=e$。 步骤2：$f(e)=e-e=0$，且$\displaystyle f''(e)=\frac{e}{e^2}>0$，故$x=e$为极小值点。当$x\to0^+$时$f(x)\to+\infty$，$x\to+\infty$时$f(x)\to+\infty$，故有两个零点（一个在$(0,e)$，一个在$(e,+\infty)$）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定函数定义域并求导找驻点
函数 f(x)=x-e ln x 的定义域为 (0, +∞)。求导得 f'(x)=1 - e/x。令 f'(x)=0，解得 x=e。
公式：f'(x)=1 - e/x
提示：注意定义域，对数函数要求 x>0。
步骤 2/3
目标：判断驻点类型并计算函数值
计算 f(e)=e - e ln e = e - e = 0。求二阶导数 f''(x)=e/x^2，代入 x=e 得 f''(e)=e/e^2=1/e>0，故 x=e 是极小值点。
公式：f''(x)=e/x^2
提示：极小值点处函数值为0，说明该点是零点。
步骤 3/3
目标：分析端点极限判断零点个数
当 x→0+ 时，ln x → -∞，故 -e ln x → +∞，所以 f(x)→+∞。当 x→+∞ 时，x 增长快于 ln x，故 f(x)→+∞。由于极小值点 f(e)=0，且两侧函数值均趋向正无穷，因此函数在 (0,e) 和 (e,+∞) 各有一个零点，共2个零点。
提示：利用极限和极值判断零点个数，注意极小值点处函数值为0。
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