kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【基础篇】第16题（选择题） 16．设常数 $k>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\ln x-\frac{x}{\mathrm{e}}+k}$ 在 $(0,+\infty)$ 内的间断点个数为 ． （A） 3 （B） 2 （C） 1 （D） 0
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：分母$\displaystyle g(x)=\ln x-\frac{x}{e}+k$，间断点出现在分母为零及$x=1$（$\ln x$定义域）处，但$x>0$，故考虑$g(x)=0$的解。 步骤2：$\displaystyle g'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{e}$，驻点$x=e$，$g(e)=1-1+k=k$。当$k>0$时，$g(e)>0$，且$x\to0^+$时$g(x)\to-\infty$，$x\to+\infty$时$g(x)\to-\infty$，故$g(x)=0$有两个实根，即两个间断点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定间断点的可能来源
函数 f(x)=1/(ln x - x/e + k) 的间断点出现在分母为零的点，以及 ln x 定义域内 x=1 处（但 x>0，故只需考虑分母为零）。
提示：注意 ln x 在 x=1 处为0，但分母可能不为零，需单独考虑。
步骤 2/3
目标：分析分母函数 g(x)=ln x - x/e + k 的零点个数
求导得 g'(x)=1/x - 1/e，令其为零得驻点 x=e。计算 g(e)=ln e - e/e + k = 1-1+k = k > 0。当 x→0+ 时，ln x → -∞，-x/e → 0，故 g(x)→ -∞；当 x→+∞ 时，ln x 增长慢于 x/e，故 g(x)→ -∞。因此 g(x) 在 (0,e) 和 (e,+∞) 上各有一个零点，共两个零点。
公式：g'(x)=1/x - 1/e
提示：利用导数判断单调性，结合端点极限确定零点个数。
步骤 3/3
目标：判断间断点个数
分母有两个零点，且这些点处分子不为零，故 f(x) 有两个间断点。注意 x=1 处分母不为零（因为 g(1)=0 - 1/e + k = k - 1/e，k>0 时可能为零？但 k>0 且 k 为常数，若 k=1/e 则 x=1 也是零点，但题目未指定 k 值，一般 k>0 任意，故 x=1 不一定为零点。实际上，两个零点已由单调性确定，x=1 可能为其中之一，但个数仍为2。
提示：间断点个数即分母零点个数，无需考虑 x=1 的特殊性。
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