kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．确定常数 $k$ 的取值范围，使方程 $x-\arctan x=k x^{3}$ 在 $(0,1]$ 内有实根．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将方程转化为函数形式
方程化为 x - arctan x = k x^3，由于 x ∈ (0,1]，且 x=0 时两边为0，考虑函数 h(x) = (x - arctan x) / x^3。
公式：h(x) = (x - arctan x) / x^3
提示：分离参数 k，转化为求函数值域。
步骤 2/3
目标：分析 h(x) 的连续性并求端点值
h(x) 在 (0,1] 上连续。计算 lim_{x→0+} h(x) 和 h(1)。利用泰勒展开：x - arctan x ~ x^3/3，故 lim_{x→0+} h(x) = 1/3。h(1) = (1 - π/4) / 1 = 1 - π/4。
公式：lim_{x→0+} h(x) = 1/3, h(1) = 1 - π/4
提示：注意泰勒展开的运用。
步骤 3/3
目标：确定 k 的取值范围
方程有实根等价于 k 在 h(x) 的值域内。由于 h(x) 在 (0,1] 上连续且单调（可证），值域为 (h(1), lim_{x→0+} h(x)] = (1 - π/4, 1/3]。故 k 的取值范围是 1 - π/4 < k ≤ 1/3。
公式：k ∈ (1 - π/4, 1/3]
提示：注意端点是否包含，x=0 不在定义域内，故左开右闭。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。