kaoyan1basic 高等数学 第91题
📝 题目
### 第91题 设 $z=\mathrm{e}^{x y}+f(x+y, x y), f(u, v)$ 有二阶连续偏导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$e^{xy}(1+xy) + f_u + xy f_v + f_{uu} + (x+y) f_{uv} + xy f_{vv}$ **解析**： 步骤1：$z = e^{xy} + f(x+y, xy)$，令$u = x+y$，$v = xy$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = y e^{xy} + f_u \cdot 1 + f_v \cdot y$。 步骤3：$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y e^{xy} + f_u + y f_v) = e^{xy} + xy e^{xy} + \frac{\partial f_u}{\partial y} + f_v + y \frac{\partial f_v}{\partial y}$。 步骤4：$\displaystyle \frac{\partial f_u}{\partial y} = f_{uu} \cdot 1 + f_{uv} \cdot x$，$\displaystyle \frac{\partial f_v}{\partial y} = f_{vu} \cdot 1 + f_{vv} \cdot x$。 步骤5：代入得$e^{xy}(1+xy) + f_u + f_v + y f_{uu} + xy f_{uv} + y f_{vu} + xy f_{vv} = e^{xy}(1+xy) + f_u + f_v + y f_{uu} + (x+y) f_{uv} + xy f_{vv}$。 **难度**：★★★★☆