kaoyan1basic 高等数学 第92题
📝 题目
### 第92题 已知函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，且 $f(1,2)=1, f_{x}^{\prime}(1,2)=2$ ， $f_{y}^{\prime}(1,2)=3$ ，设函数 $\varphi(x)=f(x, 2 f(x, 2 x))$ ，则 $\varphi^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$47$ **解析**： 步骤1：$\varphi(x) = f(x, 2f(x, 2x))$，求导$\displaystyle \varphi'(x) = f_x'(x, 2f(x,2x)) + f_y'(x, 2f(x,2x)) \cdot 2 \cdot \frac{d}{dx} f(x,2x)$。 步骤2：$\displaystyle \frac{d}{dx} f(x,2x) = f_x'(x,2x) + f_y'(x,2x) \cdot 2$。 步骤3：代入$x=1$，$f(1,2)=1$，$f_x'(1,2)=2$，$f_y'(1,2)=3$，则$f(1,2)=1$，$f(1,2\cdot1)=f(1,2)=1$，故$\varphi(1)=f(1,2)=1$。 步骤4：$\displaystyle \frac{d}{dx} f(x,2x)\big|_{x=1} = f_x'(1,2) + 2f_y'(1,2) = 2 + 6 = 8$。 步骤5：$\varphi'(1) = f_x'(1,2) + f_y'(1,2) \cdot 2 \cdot 8 = 2 + 3 \cdot 16 = 2 + 48 = 50$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出φ(x)的表达式并求导
φ(x) = f(x, 2f(x, 2x))，利用链式法则求导得 φ'(x) = f_x'(x, 2f(x,2x)) + f_y'(x, 2f(x,2x)) · 2 · d/dx f(x,2x)。
公式：φ'(x) = f_x' + f_y' · 2 · d/dx f(x,2x)
提示：注意f是二元函数，对x求导时需考虑两个中间变量。
步骤 2/5
目标：计算d/dx f(x,2x)
令g(x)=f(x,2x)，则g'(x)=f_x'(x,2x) + f_y'(x,2x)·2。
公式：d/dx f(x,2x) = f_x'(x,2x) + 2 f_y'(x,2x)
提示：这里2x是内层函数，求导时注意乘以2。
步骤 3/5
目标：代入x=1，计算所需函数值
已知f(1,2)=1，f_x'(1,2)=2，f_y'(1,2)=3。计算f(1,2·1)=f(1,2)=1，故φ(1)=f(1,2)=1。
提示：注意f(1,2)的值已给出。
步骤 4/5
目标：计算d/dx f(x,2x)在x=1处的值
代入x=1：d/dx f(x,2x)|_{x=1} = f_x'(1,2) + 2 f_y'(1,2) = 2 + 2·3 = 8。
公式：g'(1) = f_x'(1,2) + 2 f_y'(1,2) = 2 + 6 = 8
提示：注意乘法顺序。
步骤 5/5
目标：计算φ'(1)
代入x=1：φ'(1) = f_x'(1,2) + f_y'(1,2) · 2 · 8 = 2 + 3·16 = 2 + 48 = 50。
公式：φ'(1) = 2 + 3·2·8 = 50
提示：注意2乘以8得16，再乘以3得48。
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