kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{i-\frac{1}{2}}{n^{4}} \sqrt{n^{4}-\left(i-\frac{1}{2}\right)^{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{16}$ **解析**： 步骤1：将极限视为定积分：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \frac{i-\frac{1}{2}}{n^4}\sqrt{n^4-(i-\frac{1}{2})^4}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{i-\frac{1}{2}}{n}\sqrt{1-\left(\frac{i-\frac{1}{2}}{n}\right)^4}$。 步骤2：令$\displaystyle x=\frac{i-\frac{1}{2}}{n}$，当$n\to\infty$时，$\displaystyle \frac{1}{n}\to dx$，$x$从$\displaystyle \frac{1}{2n}$到$\displaystyle 1-\frac{1}{2n}$，即$0$到$1$。原式$=\int_0^1 x\sqrt{1-x^4}dx$。 步骤3：令$u=x^2$，则$du=2xdx$，$\displaystyle xdx=\frac{1}{2}du$，积分变为$\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^1 \sqrt{1-u^2}du$，此为半径为1的四分之一圆面积，即$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$。 步骤4：注意原积分中$x\sqrt{1-x^4}dx$，换元后得$\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^1 \sqrt{1-u^2}du=\frac{\pi}{16}$。 **难度**：★★★☆☆