kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，则 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=$ ． （A） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{3 k-1}{3 n}\right) \frac{1}{3 n}$ （B） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{3 k-1}{3 n}\right) \frac{1}{n}$ （C） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{3 n} f\left(\frac{k-1}{3 n}\right) \frac{1}{n}$ （D） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{3 n} f\left(\frac{k}{3 n}\right) \frac{3}{n}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：定积分定义$\int_0^1 f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x$，其中$\displaystyle \Delta x=\frac{1}{n}$，$\displaystyle \xi_k\in[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]$。 步骤2：选项B中$\displaystyle \xi_k=\frac{3k-1}{3n}$，当$k=1$时$\displaystyle \xi_1=\frac{2}{3n}$，$k=n$时$\displaystyle \xi_n=\frac{3n-1}{3n}=1-\frac{1}{3n}$，区间长度$\displaystyle \frac{1}{n}$，符合定积分定义。 步骤3：其他选项区间长度或分割方式不符合标准定义。 **难度**：★★☆☆☆