kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．一物体在距离同一水平面上的地面观测器 10 m 处离地匀速铅直上升，其速度为 $a \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．若该物体上升到离地 20 m 时，观测器视线倾角的变化率为 $\displaystyle \frac{1}{10}$ ，则 $a=$ ． （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 5
## 第8章 一元函数积分学的概念与性质
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：设物体离地高度为$h$，观测器与物体水平距离$10$ m，视线倾角$\theta$满足$\displaystyle \tan\theta=\frac{h}{10}$。 步骤2：对时间求导：$\displaystyle \sec^2\theta \frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{10}\frac{dh}{dt}$，其中$\displaystyle \frac{dh}{dt}=a$。 步骤3：当$h=20$时，$\tan\theta=2$，$\sec^2\theta=1+\tan^2\theta=5$，代入得$\displaystyle 5\cdot\frac{1}{10}=\frac{1}{10}a$，解得$a=5$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立视线倾角与高度的关系
设物体离地高度为 h，观测器与物体水平距离 10 m，视线倾角 θ 满足 tanθ = h/10。
公式：tanθ = h/10
步骤 2/3
目标：对时间求导，建立变化率关系
对 tanθ = h/10 两边关于时间 t 求导，得 sec²θ * dθ/dt = (1/10) * dh/dt，其中 dh/dt = a。
公式：sec²θ * dθ/dt = (1/10) * a
步骤 3/3
目标：代入已知条件求解 a
当 h=20 时，tanθ=2，sec²θ=1+tan²θ=5，已知 dθ/dt=1/10，代入得 5*(1/10) = (1/10)*a，解得 a=5。
公式：5*(1/10) = (1/10)*a ⇒ a=5
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