kaoyan1basic 高等数学 第4题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第4题（选择题） 4．已知某圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s},-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，且圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为 $-100 \pi \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s}, 40 \pi \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}$ ，则圆柱体的底面半径与高分别为 ． （A） $5 \mathrm{~cm}, 5 \mathrm{~cm}$ （B） $10 \mathrm{~cm}, 5 \mathrm{~cm}$ （C） $5 \mathrm{~cm}, 10 \mathrm{~cm}$ （D） $10 \mathrm{~cm}, 10 \mathrm{~cm}$

💡 答案解析

**答案**：C **解析**： 步骤1：圆柱体体积$V=\pi r^2 h$，表面积$S=2\pi r^2+2\pi r h$。对时间求导得： $\displaystyle \frac{dV}{dt}=2\pi r h \frac{dr}{dt}+\pi r^2 \frac{dh}{dt}$， $\displaystyle \frac{dS}{dt}=4\pi r \frac{dr}{dt}+2\pi h \frac{dr}{dt}+2\pi r \frac{dh}{dt}$。 步骤2：代入已知数据$\displaystyle \frac{dr}{dt}=2$，$\displaystyle \frac{dh}{dt}=-3$，$\displaystyle \frac{dV}{dt}=-100\pi$，$\displaystyle \frac{dS}{dt}=40\pi$，得方程组： $2\pi r h \cdot 2 + \pi r^2 \cdot (-3) = -100\pi$，即$4rh-3r^2=-100$； $4\pi r \cdot 2 + 2\pi h \cdot 2 + 2\pi r \cdot (-3) = 40\pi$，即$8r+4h-6r=40$，化简得$2r+4h=40$，即$r+2h=20$。 步骤3：解方程组$\begin{cases} 4rh-3r^2=-100 \\ r+2h=20 \end{cases}$，由第二式得$\displaystyle h=10-\frac{r}{2}$，代入第一式：$\displaystyle 4r(10-\frac{r}{2})-3r^2=-100$，即$40r-2r^2-3r^2=-100$，$40r-5r^2=-100$，$r^2-8r-20=0$，解得$r=10$或$r=-2$（舍去），则$h=10-5=5$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：建立体积和表面积关于时间的导数表达式
圆柱体体积 V = πr²h，表面积 S = 2πr² + 2πrh。对时间 t 求导，得到 dV/dt = 2πrh(dr/dt) + πr²(dh/dt)，dS/dt = 4πr(dr/dt) + 2πh(dr/dt) + 2πr(dh/dt)。
公式：dV/dt = 2πrh(dr/dt) + πr²(dh/dt); dS/dt = 4πr(dr/dt) + 2πh(dr/dt) + 2πr(dh/dt)
提示：注意乘积求导法则：对 r²h 求导时，先对 r² 求导乘以 h 加上 r² 乘以 h 的导数。
步骤 2/3
目标：代入已知速率值，列出方程组
已知 dr/dt = 2, dh/dt = -3, dV/dt = -100π, dS/dt = 40π。代入得：2πrh·2 + πr²·(-3) = -100π，化简为 4rh - 3r² = -100；4πr·2 + 2πh·2 + 2πr·(-3) = 40π，化简为 8r + 4h - 6r = 40，即 2r + 4h = 40，除以2得 r + 2h = 20。
公式：4rh - 3r² = -100; r + 2h = 20
提示：注意单位：所有速率单位一致，π 可约去。
步骤 3/3
目标：解方程组求 r 和 h
由 r + 2h = 20 得 h = 10 - r/2。代入 4rh - 3r² = -100：4r(10 - r/2) - 3r² = -100 → 40r - 2r² - 3r² = -100 → 40r - 5r² = -100 → 5r² - 40r - 100 = 0 → r² - 8r - 20 = 0。解得 r = 10 或 r = -2（舍去）。则 h = 10 - 10/2 = 5。
公式：r² - 8r - 20 = 0
提示：一元二次方程求解时注意判别式，负根舍去。

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