kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（解答题） 3．已知一容器中水增加的速率为 $1 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ ，且水的体积 $V$ 与水面高度 $y$ 满足 $\displaystyle V=\frac{\pi}{2} y^{2}$ ，当水面上升到高为 1 m 时，求水面高度上升的速率。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ m/min **解析**： 步骤1：$\displaystyle V=\frac{\pi}{2}y^2$，$\displaystyle \frac{dV}{dt}=1$，求$\displaystyle \frac{dy}{dt}$当$y=1$。 步骤2：$\displaystyle \frac{dV}{dt}=\pi y\frac{dy}{dt}$，代入得$\displaystyle 1=\pi\times1\times\frac{dy}{dt}$，故$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{1}{\pi}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立体积V与高度y的关系式
已知水的体积V与水面高度y满足V = (π/2) y^2。
公式：V = (π/2) y^2
提示：注意公式中的系数π/2，不要写错。
步骤 2/3
目标：对时间t求导，建立速率关系
对V = (π/2) y^2两边关于时间t求导，得到dV/dt = π y dy/dt。
公式：dV/dt = π y dy/dt
提示：使用链式法则，dy/dt是水面高度上升速率。
步骤 3/3
目标：代入已知条件求解dy/dt
已知dV/dt = 1 m³/min，当y = 1 m时，代入得1 = π × 1 × dy/dt，解得dy/dt = 1/π m/min。
公式：1 = π × 1 × dy/dt ⇒ dy/dt = 1/π
提示：注意单位：dV/dt单位是m³/min，y单位是m，dy/dt单位是m/min。
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