kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．球的半径以 $5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度匀速增长，问球的半径为 50 cm 时，球的表面积和体积的增长速度各是多少？
💡 答案解析
**答案**：表面积增长速度$400\pi$ cm$^2$/s，体积增长速度$5000\pi$ cm$^3$/s **解析**： 步骤1：球表面积$S=4\pi r^2$，体积$\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3$，$\displaystyle \frac{dr}{dt}=5$。 步骤2：$\displaystyle \frac{dS}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt}$，$r=50$时$\displaystyle \frac{dS}{dt}=8\pi\times50\times5=2000\pi$。 步骤3：$\displaystyle \frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$，$r=50$时$\displaystyle \frac{dV}{dt}=4\pi\times2500\times5=50000\pi$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出球的表面积和体积公式，并明确已知条件
球的表面积公式为 S = 4πr²，体积公式为 V = (4/3)πr³。已知半径增长率 dr/dt = 5 cm/s，且当 r = 50 cm 时求 dS/dt 和 dV/dt。
公式：S = 4πr², V = (4/3)πr³
提示：注意单位：cm/s 对应面积变化率单位 cm²/s，体积变化率单位 cm³/s。
步骤 2/3
目标：求表面积增长速度 dS/dt
对 S = 4πr² 关于时间 t 求导，得 dS/dt = 8πr * dr/dt。代入 r = 50, dr/dt = 5，计算得 dS/dt = 8π × 50 × 5 = 2000π cm²/s。
公式：dS/dt = 8πr * dr/dt
提示：注意链式法则：dS/dt = (dS/dr)*(dr/dt)。
步骤 3/3
目标：求体积增长速度 dV/dt
对 V = (4/3)πr³ 关于时间 t 求导，得 dV/dt = 4πr² * dr/dt。代入 r = 50, dr/dt = 5，计算得 dV/dt = 4π × 2500 × 5 = 50000π cm³/s。
公式：dV/dt = 4πr² * dr/dt
提示：同样使用链式法则，注意系数。
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