kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续奇函数，则 $\int_{a+(b+1) T}^{a+(b+2) T} f(x) \mathrm{d} x$ 的取值（ ）。 （A）与 $a, b, T$ 均有关 （B）与 $a, b, T$ 均无关 （C）只与 $T$ 有关 （D）只与 $a, T$ 有关
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$f(x)$以$T$为周期，则$\int_a^{a+T}f(x)dx$与$a$无关。 步骤2：$\int_{a+(b+1)T}^{a+(b+2)T}f(x)dx=\int_{a+(b+1)T}^{a+(b+1)T+T}f(x)dx$，由周期性，该积分等于$\int_0^T f(x)dx$。 步骤3：又$f(x)$为奇函数，$\int_0^T f(x)dx$可能不为0，但积分值与$a,b,T$均无关？实际上，奇函数在对称区间积分为0，但周期函数不一定对称。由于$f$是奇函数且周期为$T$，则$\int_0^T f(x)dx=0$（因为$\int_{-T/2}^{T/2}f(x)dx=0$且周期），故积分恒为0，与$a,b,T$均无关。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用周期性简化积分区间
由于f(x)以T为周期，积分区间长度为T，因此∫_{a+(b+1)T}^{a+(b+2)T} f(x)dx = ∫_{a+(b+1)T}^{a+(b+1)T+T} f(x)dx = ∫_0^T f(x)dx。
公式：∫_a^{a+T} f(x)dx = ∫_0^T f(x)dx
提示：周期函数在任意长度为T的区间上的积分相等。
步骤 2/3
目标：利用奇函数性质确定积分值
f(x)是奇函数且以T为周期，则∫_0^T f(x)dx = 0。因为奇函数在对称区间[-T/2, T/2]上积分为0，且周期为T，所以∫_0^T f(x)dx = ∫_{-T/2}^{T/2} f(x)dx = 0。
公式：∫_{-a}^a f(x)dx = 0（f为奇函数）
提示：奇函数在对称区间积分为0，结合周期性可推出任意一个周期长度区间上的积分为0。
步骤 3/3
目标：得出结论
原积分恒为0，与a, b, T均无关。
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