kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．甲、乙两人赛跑，图中实线和虚线分别为甲和乙的速度曲线（单位： $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ），三块阴影部分面积依次为 $15,20,10$ ，且当 $t=0$ 时，甲在乙前面 10 m 处，则在 $\left[0, t_{3}\right]$ 上，甲、乙相遇的次数为 。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：速度曲线下的面积表示位移。甲在乙前面10m，相遇时甲位移等于乙位移加10m。 步骤2：阴影面积依次为15,20,10，分别表示时间段内乙比甲多走的距离（或相反）。设$S_1=15$（乙领先甲），$S_2=20$（甲领先乙），$S_3=10$（乙领先甲）。 步骤3：初始甲领先10m。$t_1$时，乙多走15m，乙领先5m，未相遇。$t_2$时，甲多走20m，甲领先15m，期间相遇一次（乙从落后到领先再被反超？）。$t_3$时，乙多走10m，乙领先5m，期间又相遇一次。共2次。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解速度曲线下面积的意义
速度曲线下的面积表示物体在相应时间段内的位移。甲、乙的速度曲线分别为实线和虚线，三块阴影部分面积依次为15、20、10，分别表示各时间段内乙比甲多走的位移（或甲比乙多走的位移）。
公式：位移 = ∫v dt
提示：注意面积的正负：若乙的速度曲线在甲上方，则乙比甲多走的位移为正；反之为负。
步骤 2/4
目标：分析初始条件
当t=0时，甲在乙前面10 m处，即初始位移差为10 m（甲领先乙10 m）。
提示：初始领先距离可视为甲多走的位移。
步骤 3/4
目标：计算各时刻的位移差
设S1=15（乙比甲多走15 m），S2=20（甲比乙多走20 m），S3=10（乙比甲多走10 m）。初始甲领先10 m。
- 在t1时刻：位移差 = 10 - 15 = -5 m，即乙领先甲5 m，未相遇（相遇时位移差为0）。
- 在t2时刻：位移差 = 10 - 15 + 20 = 15 m，即甲领先乙15 m。
- 在t3时刻：位移差 = 10 - 15 + 20 - 10 = 5 m，即甲领先乙5 m。
公式：位移差 = 初始差 + Σ(各段面积，乙领先为正，甲领先为负)
提示：注意符号：乙领先时面积取正，甲领先时面积取负。
步骤 4/4
目标：判断相遇次数
相遇发生在位移差为0的时刻。初始位移差为10 m（正），t1时刻为-5 m（负），说明在[0, t1]内位移差由正变负，必经过0一次，即第一次相遇。t1到t2，位移差由-5 m变为15 m，由负变正，再次经过0，第二次相遇。t2到t3，位移差由15 m变为5 m，始终为正，未经过0。因此共相遇2次。
提示：注意：相遇次数等于位移差变号的次数（从正到负或从负到正）。
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