kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{2 \pi} x \sin x \mathrm{~d} x, I_{2}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ，则（ ）。 （A）$I_{1}<0, I_{2}>0$ （B）$I_{1}<0, I_{2}<0$ （C）$I_{1}>0, I_{2}>0$ （D）$I_{1}>0, I_{2}<0$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$I_1=\int_0^{2\pi}x\sin x dx$，分部积分：$[-x\cos x]_0^{2\pi}+\int_0^{2\pi}\cos x dx=[-2\pi\cdot1-0]+[\sin x]_0^{2\pi}=-2\pi+0=-2\pi<0$。 步骤2：$\displaystyle I_2=\int_0^{2\pi}\frac{\sin x}{x}dx$，在$(0,\pi)$内$\sin x>0$，$(\pi,2\pi)$内$\sin x<0$，但分母$x>0$，且$|\sin x|$在$(\pi,2\pi)$被更大的$x$除，整体积分正负需判断。由于$\displaystyle \frac{\sin x}{x}$在$(0,\pi)$为正，$(\pi,2\pi)$为负，且$\displaystyle \int_0^\pi \frac{\sin x}{x}dx>\int_\pi^{2\pi}\frac{|\sin x|}{x}dx$（因为$x$小），故$I_2>0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算 I1 的值并判断符号
使用分部积分法：令 u=x, dv=sin x dx，则 du=dx, v=-cos x。于是 I1 = [-x cos x]_0^{2π} + ∫_0^{2π} cos x dx = (-2π cos 2π + 0) + [sin x]_0^{2π} = -2π + 0 = -2π < 0。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：分部积分时注意符号，cos 2π=1。
步骤 2/2
目标：判断 I2 的符号
在区间 (0,π) 内 sin x > 0，分母 x > 0，故被积函数为正；在 (π,2π) 内 sin x < 0，被积函数为负。由于在 (0,π) 上 x 较小，使得正部分的积分值大于负部分的绝对值，因此 I2 > 0。
公式：无
提示：比较正负面积时，注意分母 x 的影响。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。