kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(1+\frac{x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x, N=\int_{0}^{1} \frac{(1+x) \ln ^{2}(1+x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x, K=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{~d} x$ ，则 ． （A）$M>N>K$ （B）$N>K>M$ （C）$K>M>N$ （D）$K>N>M$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\displaystyle M=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(1+\frac{x}{1+x^2}\right)dx$，$\displaystyle \frac{x}{1+x^2}$为奇函数，在对称区间积分为0，故$\displaystyle M=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}1dx=1$。 步骤2：$\displaystyle N=\int_0^1 \frac{(1+x)\ln^2(1+x)}{x^2}dx$，当$x\to0$时，$\ln(1+x)\sim x$，被积函数$\displaystyle \sim\frac{(1+x)x^2}{x^2}=1+x$，可积。比较$N$与$1$：在$(0,1)$内，$\displaystyle \frac{(1+x)\ln^2(1+x)}{x^2}>1$（因为$\displaystyle \ln(1+x)>x-\frac{x^2}{2}$，平方后略），故$N>1$。 步骤3：$\displaystyle K=\int_0^1 \frac{e^x}{1+x}dx$，在$(0,1)$内，$e^x>1$，$\displaystyle \frac{1}{1+x}<1$，但$e^x<1+x$？实际上$e^x>1+x$，故$\displaystyle \frac{e^x}{1+x}>1$，$K>1$。比较$N$和$K$：$N$中$\ln^2(1+x)$增长慢，$K$中$e^x$增长快，但分母$x^2$使$N$在0附近大，整体$N>K$？需具体比较：$N$在$x=1$时为$\displaystyle \frac{2\ln^2 2}{1}\approx0.96$，$K$在$x=1$时为$\displaystyle \frac{e}{2}\approx1.36$，但$N$在0附近发散到无穷，故$N>K>1=M$。 **难度**：★★★★☆