kaoyan1basic 高等数学 第4题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第4题（选择题） 4．下列各式不成立的是（ ）。 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ （B） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{12} x \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ （C） $\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x \leqslant \int_{\pi}^{2 \pi} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ （D） $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x<\int_{-2}^{2} x^{3} 2^{x} \mathrm{~d} x$

💡 答案解析

**答案**：C **解析**： 步骤1：A：在$[0,1]$上，$e^{-x}\leq e^{-x^2}$（因为$-x\leq -x^2$），积分不等式成立。 步骤2：B：在$\displaystyle [0,\frac{\pi}{2}]$上，$\sin^{12}x\leq \sin^2 x$，积分不等式成立。 步骤3：C：比较$\int_0^\pi e^{-x^2}\cos^2 x dx$与$\int_\pi^{2\pi} e^{-x^2}\cos^2 x dx$，令$u=x-\pi$，则后者$=\int_0^\pi e^{-(u+\pi)^2}\cos^2(u+\pi)du=\int_0^\pi e^{-(u+\pi)^2}\cos^2 u du$，由于$e^{-(u+\pi)^2}

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：判断选项A是否成立
在区间[0,1]上，比较被积函数e^{-x}和e^{-x^2}的大小。由于x∈[0,1]时，x≥x^2，所以-x≤-x^2，因此e^{-x}≤e^{-x^2}。根据积分保序性，∫_0^1 e^{-x} dx ≤ ∫_0^1 e^{-x^2} dx，故A成立。
公式：若f(x)≤g(x)在[a,b]上，则∫_a^b f(x)dx ≤ ∫_a^b g(x)dx
提示：注意指数函数的单调性
步骤 2/4
目标：判断选项B是否成立
在区间[0,π/2]上，sin x ∈ [0,1]，因此sin^12 x ≤ sin^2 x。根据积分保序性，∫_0^{π/2} sin^12 x dx ≤ ∫_0^{π/2} sin^2 x dx，故B成立。
公式：若0≤f(x)≤g(x)，则∫ f ≤ ∫ g
提示：注意sin x在[0,π/2]上的取值范围
步骤 3/4
目标：判断选项C是否成立
比较∫_0^π e^{-x^2} cos^2 x dx与∫_π^{2π} e^{-x^2} cos^2 x dx。令u=x-π，则∫_π^{2π} e^{-x^2} cos^2 x dx = ∫_0^π e^{-(u+π)^2} cos^2(u+π) du = ∫_0^π e^{-(u+π)^2} cos^2 u du。由于在[0,π]上，e^{-(u+π)^2} < e^{-u^2}，因此∫_0^π e^{-(u+π)^2} cos^2 u du < ∫_0^π e^{-u^2} cos^2 u du，即后者小于前者，故原不等式方向反了，C不成立。
公式：换元积分法：∫_a^b f(x)dx = ∫_{a-c}^{b-c} f(u+c)du
提示：注意cos^2(u+π)=cos^2 u
步骤 4/4
目标：判断选项D是否成立
左边积分：在[1/2,1]上，ln x < 0，x^2 > 0，故被积函数x^2 ln x < 0，所以∫_{1/2}^1 x^2 ln x dx < 0。右边积分：∫_{-2}^2 x^3 2^x dx，被积函数x^3 2^x不是奇函数（因为2^x不是偶函数），但积分区间对称，可考虑奇偶性。实际上，x^3是奇函数，2^x是偶函数？2^x不是偶函数，所以整体非奇非偶。但可以计算：∫_{-2}^2 x^3 2^x dx = ∫_{-2}^0 x^3 2^x dx + ∫_0^2 x^3 2^x dx，通过换元u=-x，第一部分变为-∫_0^2 u^3 2^{-u} du，与第二部分相加得∫_0^2 x^3 (2^x - 2^{-x}) dx，由于2^x - 2^{-x} > 0（当x>0），且x^3>0，故积分>0。因此左边<0<右边，不等式成立。
公式：奇偶性：若f为奇函数，则∫_{-a}^a f=0；此处非奇非偶，需拆分
提示：注意判断被积函数的符号

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第4题 返回列表 第5题 →