kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 内的正值连续函数，且 $f^{\prime}(x)<0, g(x)=\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $\displaystyle g\left(\frac{1}{2}\right)$ 和 $\displaystyle g\left(\frac{3}{2}\right)$ 的可能取值是 ． （A）$-2,1$ （B）$-2,3$ （C） $2,-1$ （D） $2,-3$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$g(x)=\int_1^x f(t)dt$，则$g(1)=0$。$f(x)>0$且$f'(x)<0$，即$f$递减正函数。 步骤2：$\displaystyle g(\frac{1}{2})=\int_1^{1/2} f(t)dt=-\int_{1/2}^1 f(t)dt<0$，且$f(t)$在$[1/2,1]$上大于$f(1)$，故$\displaystyle |g(\frac{1}{2})|>\int_{1/2}^1 f(1)dt=\frac{1}{2}f(1)$。 步骤3：$\displaystyle g(\frac{3}{2})=\int_1^{3/2} f(t)dt>0$，且小于$\displaystyle \int_1^{3/2} f(1)dt=\frac{1}{2}f(1)$。 步骤4：选项A中$-2,1$满足一负一正且绝对值可能匹配；B中$-2,3$正数太大；C、D正负反。故A可能。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解函数g(x)的定义和性质
由g(x)=∫_1^x f(t)dt，得g(1)=0。f(x)>0且f'(x)<0，说明f(x)在(0,+∞)上为正且单调递减。
公式：g(x)=∫_1^x f(t)dt
提示：注意积分上下限，g(1)=0是基准点。
步骤 2/4
目标：分析g(1/2)的符号和取值范围
g(1/2)=∫_1^{1/2} f(t)dt = -∫_{1/2}^1 f(t)dt < 0。由于f(t)在[1/2,1]上递减，故f(t) > f(1)，所以|g(1/2)| > ∫_{1/2}^1 f(1)dt = (1/2)f(1)。
公式：g(1/2) = -∫_{1/2}^1 f(t)dt < - (1/2)f(1)
提示：利用单调性放缩积分。
步骤 3/4
目标：分析g(3/2)的符号和取值范围
g(3/2)=∫_1^{3/2} f(t)dt > 0。由于f(t)在[1,3/2]上递减，故f(t) < f(1)，所以g(3/2) < ∫_1^{3/2} f(1)dt = (1/2)f(1)。
公式：0 < g(3/2) < (1/2)f(1)
提示：同样利用单调性放缩。
步骤 4/4
目标：结合选项判断可能取值
g(1/2)为负，g(3/2)为正，排除C、D（正负相反）。选项A：-2,1；选项B：-2,3。由于g(3/2) < (1/2)f(1)且g(1/2)绝对值大于(1/2)f(1)，若f(1)适当，-2和1可能同时满足，而3太大，故A可能。
提示：注意绝对值关系，g(3/2)小于g(1/2)的绝对值。
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