kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \ln x, & x>0, \\ x^{2}+x, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 若 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x(a
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$f(x)=\begin{cases} x\ln x, & x>0 \\ x^2+x, & x\leq0 \end{cases}$，求$\int_a^b f(x)dx$的最小值，即找区间使积分最小。 步骤2：考虑$F(x)=\int_0^x f(t)dt$，则原积分为$F(b)-F(a)$。$f(x)$在$x>0$时，$x\ln x$在$(0,1/e)$负，$(1/e,\infty)$正；在$x\leq0$时，$x^2+x=x(x+1)$，在$(-1,0)$负，$(-\infty,-1)$正。 步骤3：积分最小值应取负部最多的区间。$f(x)$负区间为$(-1,0)$和$(0,1/e)$，且$f$在$(-1,0)$和$(0,1/e)$连续，故取$a=-1,b=1$可包含所有负部，且正部较少。 步骤4：验证：$a=-1,b=1$时，积分包含$(-1,0)$负和$(0,1)$部分正，但$(0,1)$中$(0,1/e)$负，$(1/e,1)$正，整体可能最小。其他选项区间较小或正部多。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析函数f(x)在各区间的符号
对于x>0，f(x)=x ln x，令其等于0得x=1，且在(0,1)内ln x<0，故f(x)<0；在(1,∞)内f(x)>0。对于x≤0，f(x)=x^2+x=x(x+1)，令其等于0得x=0或x=-1，且在(-1,0)内f(x)<0；在(-∞,-1)内f(x)>0。因此f(x)的负区间为(-1,0)和(0,1)。
公式：f(x)=x ln x (x>0); f(x)=x^2+x (x≤0)
提示：注意分段函数在不同区间上的符号变化，找出使f(x)为负的区间。
步骤 2/4
目标：理解积分最小值的条件
积分∫_a^b f(x)dx表示曲线与x轴围成的有向面积，当积分取最小值时，应尽可能多地包含f(x)为负的部分，同时避免包含正的部分。因此应选择区间[a,b]覆盖所有负区间，且尽量少包含正区间。
公式：∫_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)
提示：积分最小值对应负面积最大，即区间应包含所有使f(x)<0的x。
步骤 3/4
目标：确定最优区间端点
负区间为(-1,0)和(0,1)，但注意x=0处f(0)=0，且区间连续。要包含所有负部，需取a≤-1且b≥1，但若a<-1或b>1会引入正部，使积分增大。因此最优选择是a=-1, b=1，此时积分恰好包含全部负区间(-1,0)∪(0,1)，且正部仅包含端点处的零点，不影响积分值。
提示：端点取在f(x)=0的点上，避免引入正面积。
步骤 4/4
目标：验证选项
选项A：(-1,1)包含全部负区间，且正部仅零点，积分最小。选项B：(-1,2)多包含(1,2)的正部，积分增大。选项C：(0,1)只包含部分负区间，缺少(-1,0)的负部，积分较大。选项D：(1,2)只包含正部，积分更大。因此选A。
提示：比较各选项覆盖的负区间长度和正区间长度。
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