kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（选择题） 6．设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的偶函数，且 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，令 $F(x)= \int_{0}^{x} \sin (x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)$ 一定为 () 。 （A）偶函数 （B）奇函数 （C）以 $\pi$ 为最小正周期的周期函数 （D）以 $2 \pi$ 为最小正周期的周期函数
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$F(x)=\int_0^x \sin(x-t)f(t)dt$，利用卷积性质，可写为$F(x)=\sin x * f(x)$（卷积）。 步骤2：$F(-x)=\int_0^{-x}\sin(-x-t)f(t)dt$，令$u=-t$，则$F(-x)=\int_0^x \sin(-x+u)f(-u)(-du)=\int_0^x \sin(u-x)f(-u)du$。由于$f$为偶函数，$f(-u)=f(u)$，且$\sin(u-x)=-\sin(x-u)$，故$F(-x)=-\int_0^x \sin(x-u)f(u)du=-F(x)$，所以$F(x)$为奇函数。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用卷积性质简化F(x)表达式
注意到F(x)=∫_0^x sin(x-t)f(t)dt，这是sin(x)与f(x)的卷积，即F(x)=sin x * f(x)。
公式：F(x)=∫_0^x sin(x-t)f(t)dt
提示：卷积形式有助于利用函数性质。
步骤 2/3
目标：计算F(-x)并利用f的偶函数性质
F(-x)=∫_0^{-x} sin(-x-t)f(t)dt，令u=-t，则t=-u，dt=-du，积分限变为从0到x，得F(-x)=∫_0^x sin(-x+u)f(-u)(-du)=∫_0^x sin(u-x)f(-u)du。由于f是偶函数，f(-u)=f(u)，且sin(u-x)=-sin(x-u)，所以F(-x)=∫_0^x [-sin(x-u)]f(u)du=-∫_0^x sin(x-u)f(u)du=-F(x)。
公式：F(-x)=-F(x)
提示：注意换元时积分限的变化和符号处理。
步骤 3/3
目标：判断奇偶性
由F(-x)=-F(x)可知F(x)是奇函数。
提示：奇函数定义：F(-x)=-F(x)。
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