kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设函数 $g(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，若在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内 $g^{\prime}(x) \geqslant 0$ ，则对任意的 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，有 ． （A） $\displaystyle \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(\sin t) \mathrm{d} t$ （B） $\int_{x}^{1} g(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{x}^{1} g(\sin t) \mathrm{d} t$ （C） $\int_{x}^{1} g(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{x}^{1} g(\sin t) \mathrm{d} t$ （D） $\displaystyle \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(\sin t) \mathrm{d} t$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$g'(x)\geq0$在$(0,\pi/2)$内，故$g$单调递增。 步骤2：在$(0,\pi/2)$内，$t\geq \sin t$（因为$t-\sin t\geq0$），且$g$递增，故$g(t)\geq g(\sin t)$。 步骤3：积分不等式：$\int_x^{\pi/2} g(t)dt \geq \int_x^{\pi/2} g(\sin t)dt$，但需注意积分变量与函数自变量一致。选项D为$\int_x^{\pi/2} g(t)dt \leq \int_x^{\pi/2} g(\sin t)dt$，与推导相反。 步骤4：由于$t\geq \sin t$且$g$增，$g(t)\geq g(\sin t)$，故$\int_x^{\pi/2} g(t)dt \geq \int_x^{\pi/2} g(\sin t)dt$，对应选项A。但题目要求选正确选项，A为$\int_x^{\pi/2} g(t)dt \geq \int_x^{\pi/2} g(\sin t)dt$，故A正确。 **难度**：★★★☆☆