kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（选择题） 7．议 $f(x)=\int_{0}^{|\sin x|} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t, g(x)=\int_{0}^{|x|} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ，则在 $(-\pi, \pi)$ 内（ ）、 （A）$f(x)$ 是可导的奇函数 （B）$g(x)$ 是可导的偶函数 （C）$f(x)$ 是奇函数且 $f^{\prime}(0)$ 不存在 （D）$g(x)$ 是偶雨数且 $g^{\prime}(0)$ 不存在
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：分析$f(x)$。$f(x)=\int_{0}^{|\sin x|} e^{t^2} dt$，由于$|\sin x|$是偶函数，且$f(-x)=\int_{0}^{|\sin(-x)|} e^{t^2} dt = \int_{0}^{|\sin x|} e^{t^2} dt = f(x)$，故$f(x)$是偶函数。在$x=0$处，$f'(0)$存在与否需考虑导数定义，由于$|\sin x|$在$x=0$处不可导（左导数为-1，右导数为1），但复合函数$f(x)$在$x=0$处可导，因为$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=0$，故$f(x)$可导。 步骤2：分析$g(x)$。$g(x)=\int_{0}^{|x|} \sin t^2 dt$，$g(-x)=\int_{0}^{|-x|} \sin t^2 dt = \int_{0}^{|x|} \sin t^2 dt = g(x)$，故$g(x)$是偶函数。在$x=0$处，$\displaystyle g'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{|x|}\sin t^2 dt}{x}$，由于$\sin t^2 \sim t^2$，故$\displaystyle \int_{0}^{|x|}\sin t^2 dt \sim \frac{|x|^3}{3}$，因此$g'(0)$不存在（左右导数不相等）。 步骤3：对比选项，D正确。 **难度**：★★★☆☆