kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（选择题） 8．若 $\sqrt{1-x^{2}}$ 是 $x f(x)$ 的一个原函数，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x=(\quad)$ ． （A）-1 （B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ （C）$\displaystyle -\frac{\pi}{4}$ （D） 1
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由题意，$\sqrt{1-x^2}$是$xf(x)$的一个原函数，则$(\sqrt{1-x^2})' = xf(x)$，即$\displaystyle -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = xf(x)$，故$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。 步骤2：则$\displaystyle \frac{1}{f(x)} = -\sqrt{1-x^2}$，积分$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} dx = \int_{0}^{1} (-\sqrt{1-x^2}) dx = -\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$。 步骤3：$\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$表示半径为1的圆在第一象限的面积，即$\displaystyle \frac{\pi}{4}$，故原积分为$\displaystyle -\frac{\pi}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用原函数定义求f(x)
由题意，√(1-x^2)是xf(x)的一个原函数，则(√(1-x^2))' = xf(x)。计算导数得 -x/√(1-x^2) = xf(x)，故f(x) = -1/√(1-x^2)。
公式：(√(1-x^2))' = -x/√(1-x^2)
提示：注意原函数与导数的关系，求导时小心符号。
步骤 2/3
目标：计算1/f(x)的积分
由f(x) = -1/√(1-x^2)，得1/f(x) = -√(1-x^2)。则∫₀¹ 1/f(x) dx = ∫₀¹ (-√(1-x^2)) dx = -∫₀¹ √(1-x^2) dx。
公式：1/f(x) = -√(1-x^2)
提示：代入时注意负号。
步骤 3/3
目标：利用几何意义求定积分
∫₀¹ √(1-x^2) dx 表示半径为1的圆在第一象限的面积，即π/4。故原积分为 -π/4。
公式：∫₀¹ √(1-x^2) dx = π/4
提示：定积分的几何意义：半圆面积。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。