kaoyan1basic 高等数学 第8题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设 $f(x)=3 x-\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ，求 $f(x)$ 的表达式。

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle f(x)=3x-\frac{3\pi}{4}\sqrt{1-x^2}$ 或 $\displaystyle f(x)=3x+\frac{3\pi}{4}\sqrt{1-x^2}$ **解析**：步骤1：设$A=\int_{0}^{1} f^2(x) dx$，则$f(x)=3x-\sqrt{1-x^2}A$。 步骤2：代入得$f^2(x)=9x^2 -6Ax\sqrt{1-x^2}+A^2(1-x^2)$。 步骤3：两边在$[0,1]$上积分：$A=\int_{0}^{1} 9x^2 dx -6A\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^2} dx + A^2\int_{0}^{1} (1-x^2) dx$。 步骤4：计算各积分：$\int_{0}^{1} 9x^2 dx = 3$；$\displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{3}$；$\displaystyle \int_{0}^{1} (1-x^2) dx = \frac{2}{3}$。 步骤5：得$\displaystyle A=3 -2A + \frac{2}{3}A^2$，即$\displaystyle \frac{2}{3}A^2 -3A +3=0$，解得$\displaystyle A=\frac{3}{2}$或$A=3$。 步骤6：故$\displaystyle f(x)=3x-\frac{3}{2}\sqrt{1-x^2}$或$f(x)=3x-3\sqrt{1-x^2}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：设常数简化表达式
设 $A = \int_0^1 f^2(x) \, dx$，则 $f(x) = 3x - \sqrt{1-x^2} A$。
公式：$f(x) = 3x - A\sqrt{1-x^2}$
提示：注意 $A$ 是常数，因为积分结果是数值。
步骤 2/5
目标：计算 $f^2(x)$ 并积分
代入得 $f^2(x) = 9x^2 - 6A x\sqrt{1-x^2} + A^2(1-x^2)$，两边在 $[0,1]$ 上积分：$A = \int_0^1 9x^2 dx - 6A \int_0^1 x\sqrt{1-x^2} dx + A^2 \int_0^1 (1-x^2) dx$。
公式：$A = 3 - 2A + \frac{2}{3}A^2$
提示：积分时注意对称性和换元法。
步骤 3/5
目标：计算各积分值
$\int_0^1 9x^2 dx = 3$；$\int_0^1 x\sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{3}$（令 $u=1-x^2$）；$\int_0^1 (1-x^2) dx = \frac{2}{3}$。
公式：$\int_0^1 x\sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{3}$
提示：计算 $\int_0^1 x\sqrt{1-x^2} dx$ 时用换元 $u=1-x^2$。
步骤 4/5
目标：解关于 $A$ 的方程
代入得 $A = 3 - 2A + \frac{2}{3}A^2$，整理得 $\frac{2}{3}A^2 - 3A + 3 = 0$，解得 $A = \frac{3}{2}$ 或 $A = 3$。
公式：$\frac{2}{3}A^2 - 3A + 3 = 0$
提示：解二次方程时注意系数。
步骤 5/5
目标：写出 $f(x)$ 表达式
将 $A$ 代回 $f(x) = 3x - A\sqrt{1-x^2}$，得 $f(x) = 3x - \frac{3}{2}\sqrt{1-x^2}$ 或 $f(x) = 3x - 3\sqrt{1-x^2}$。
公式：$f(x)=3x-\frac{3}{2}\sqrt{1-x^2}$ 或 $f(x)=3x-3\sqrt{1-x^2}$
提示：注意答案中符号，原题答案有误，此处已修正。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第8题 返回列表 第9题 →