kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．已知函数 $f$ 是 $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{o}^{r^{r}}} \frac{1}{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$ 的反函数，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**：步骤1：设$y=f(x)$是$\displaystyle x=\int_{1}^{e^{y^2}} \frac{1}{1+t^3} dt$的反函数，则$\displaystyle x=\int_{1}^{e^{y^2}} \frac{1}{1+t^3} dt$。 步骤2：当$x=0$时，$\displaystyle \int_{1}^{e^{y^2}} \frac{1}{1+t^3} dt=0$，得$e^{y^2}=1$，即$y=0$，故$f(0)=0$。 步骤3：由反函数求导公式，$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$，其中$\displaystyle \frac{dx}{dy}= \frac{1}{1+(e^{y^2})^3} \cdot e^{y^2} \cdot 2y = \frac{2y e^{y^2}}{1+e^{3y^2}}$。 步骤4：在$y=0$处，$\displaystyle \frac{dx}{dy}=0$，需用极限求$f'(0)$。由$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{y\to 0}\frac{y}{\int_{1}^{e^{y^2}} \frac{1}{1+t^3} dt}$。 步骤5：当$y\to 0$时，$e^{y^2}-1\sim y^2$，$\displaystyle \int_{1}^{e^{y^2}} \frac{1}{1+t^3} dt \sim \frac{1}{2}(e^{y^2}-1) \sim \frac{y^2}{2}$，故$\displaystyle f'(0)=\lim_{y\to 0}\frac{y}{y^2/2}=2$。 **难度**：★★★☆☆