kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（选择题） 9．设常数 $m>0, n>0$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{n} \sqrt{x}\left[\frac{m}{x}\right] \mathrm{d} x$（ $[\cdot]$ 是取整符号）的敛散性 ． （A）仅与 $m$ 有关 （B）仅与 $n$ 有关 （C）与 $m, n$ 均有关 （D）与 $m, n$ 均无关
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：考虑积分$\displaystyle \int_{0}^{n} \sqrt{x}\left[\frac{m}{x}\right] dx$，其中$[\cdot]$为取整函数。当$x>0$时，$\displaystyle \left[\frac{m}{x}\right]$在$x$很小时很大，但积分区间为$[0,n]$，需判断$x=0$处的敛散性。 步骤2：当$x\to 0^+$时，$\displaystyle \left[\frac{m}{x}\right] \sim \frac{m}{x}$，被积函数$\displaystyle \sqrt{x}\cdot \frac{m}{x} = \frac{m}{\sqrt{x}}$，在$x=0$附近发散（$\displaystyle \int_{0}^{\delta} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$收敛？实际上$\int_{0}^{\delta} x^{-1/2} dx$收敛，因为指数$-1/2 > -1$）。 步骤3：更精确地，$\displaystyle \left[\frac{m}{x}\right] \le \frac{m}{x}$，故$\displaystyle \sqrt{x}\left[\frac{m}{x}\right] \le \frac{m}{\sqrt{x}}$，而$\displaystyle \int_{0}^{n} \frac{m}{\sqrt{x}} dx$收敛，故原积分收敛。 步骤4：由于$m,n$均为有限正数，积分收敛性与$m,n$的具体值无关（只要$m>0,n>0$），故与$m,n$均无关。 **难度**：★★★☆☆