kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上可导的奇函数，任意的 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，均有 $\displaystyle f(x+1)-f(x)= f(1), f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，则以下是偶函数的是（ ）。 （A） $\int_{0}^{x}[\sin f(t)+f(t+1)] \mathrm{d} t$ （B） $\int_{0}^{x}\left[\sin f^{\prime}(t)+f^{\prime}(t+1)\right] \mathrm{d} t$ （C） $\int_{0}^{x}[\cos f(t)+f(t+2)] \mathrm{d} t$ （D） $\int_{0}^{x}\left[\cos f^{\prime}(t)+f^{\prime}(t+2)\right] \mathrm{d} t$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由$f(x)$是奇函数且可导，得$f'(x)$是偶函数。由$f(x+1)-f(x)=f(1)$，令$\displaystyle x=-\frac{1}{2}$，得$\displaystyle f(\frac{1}{2})-f(-\frac{1}{2})=f(1)$，由奇函数$\displaystyle f(-\frac{1}{2})=-f(\frac{1}{2})=0$，故$f(1)=0$。因此$f(x+1)=f(x)$，即$f(x)$周期为1。 步骤2：$f(x)$周期为1，则$f(x+2)=f(x)$，$f'(x+1)=f'(x)$，$f'(x+2)=f'(x)$。 步骤3：判断偶函数：函数$F(x)=\int_{0}^{x} h(t) dt$为偶函数当且仅当$h(t)$为奇函数。 步骤4：选项A：$h(t)=\sin f(t)+f(t+1)=\sin f(t)+f(t)$，由于$f$是奇函数且周期1，$\sin f(t)$是奇函数，$f(t)$是奇函数，故$h(t)$是奇函数，$F(x)$是偶函数，但需验证是否可导？可导。但题目要求选偶函数，A是偶函数，但需检查其他选项。 步骤5：选项B：$h(t)=\sin f'(t)+f'(t+1)$，$f'(t)$是偶函数，$\sin f'(t)$是偶函数，$f'(t+1)$是偶函数（周期1），故$h(t)$是偶函数，$F(x)$是奇函数。 步骤6：选项C：$h(t)=\cos f(t)+f(t+2)=\cos f(t)+f(t)$，$\cos f(t)$是偶函数（因为$\cos$是偶函数，$f$是奇函数），$f(t)$是奇函数，故$h(t)$非奇非偶，但$\cos f(t)$是偶函数，$f(t)$是奇函数，和不一定为奇函数。实际上，$\cos f(-t)=\cos(-f(t))=\cos f(t)$，故$\cos f(t)$是偶函数，$f(t)$是奇函数，所以$h(t)$既非奇也非偶，但$F(x)$可能为偶函数？需验证：$F(-x)=\int_{0}^{-x} h(t) dt = -\int_{0}^{x} h(-u) du$，$h(-u)=\cos f(-u)+f(-u+2)=\cos f(u)-f(u)$，故$F(-x)=-\int_{0}^{x} (\cos f(u)-f(u)) du = -\int_{0}^{x} \cos f(u) du + \int_{0}^{x} f(u) du$，而$F(x)=\int_{0}^{x} (\cos f(u)+f(u)) du$，不相等。故C不是偶函数。 步骤7：选项D：$h(t)=\cos f'(t)+f'(t+2)=\cos f'(t)+f'(t)$，$f'(t)$是偶函数，$\cos f'(t)$是偶函数，故$h(t)$是偶函数，$F(x)$是奇函数。 步骤8：重新审视：A中$h(t)=\sin f(t)+f(t)$，$\sin f(t)$是奇函数（因为$\sin$是奇函数，$f$是奇函数），$f(t)$是奇函数，故$h(t)$是奇函数，$F(x)$是偶函数。但题目可能要求唯一答案，检查条件：$\displaystyle f(\frac{1}{2})=0$，$f(1)=0$，周期1。A正确。但需确认其他选项是否也有偶函数？B、D中$h$为偶函数，$F$为奇函数；C中$h$非奇非偶。故A正确。 **难度**：★★★★☆