kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（选择题） 10．已知 $\alpha>0$ ，则对于反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{a}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性的判别，下列选项中正确的是 ． （A）当 $\alpha \geqslant 1$ 时，积分收敛 （B）当 $\alpha<1$ 时，积分收敛 （C）敛散性与 $\alpha$ 的取值无关，必收敛 （D）敛散性与 $\alpha$ 的取值无关，必发散
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：考虑反常积分$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{\alpha}} dx$，瑕点为$x=0$。 步骤2：当$x\to 0^+$时，$\ln x \to -\infty$，比较阶：$\displaystyle \frac{\ln x}{x^{\alpha}} \sim \frac{1}{x^{\alpha} |\ln x|^{-1}}$，实际上$\ln x$比任何幂函数增长慢。 步骤3：用比较判别法：对任意$\varepsilon>0$，$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} x^{\alpha-\varepsilon} \frac{|\ln x|}{x^{\alpha}} = \lim_{x\to 0^+} x^{-\varepsilon} |\ln x| = 0$，故当$\alpha-\varepsilon<1$即$\alpha<1+\varepsilon$时收敛，取$\varepsilon$充分小，得$\alpha<1$时收敛。 步骤4：当$\alpha=1$时，$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} dx = \int_{0}^{1} \ln x d(\ln x)$发散；当$\alpha>1$时，$\displaystyle \frac{\ln x}{x^{\alpha}} \sim \frac{1}{x^{\alpha}}$，$\alpha>1$时$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$发散，故原积分发散。 步骤5：综上，当$\alpha<1$时收敛。 **难度**：★★☆☆☆