kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（选择题） 11．设 $f(x)$ 是实数集上连续的偶函数，在 $(-\infty, 0)$ 上有唯一零点 $x_{0}=-1$ ，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=1$ ，则函数 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 的严格单调增区间是（ ）。公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （A）$(-\infty,-1)$ （B）$(-1,+\infty)$ （C）$(-1,1)$ （D）$(1,+\infty)$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$F(x)=\int_{0}^{x} f(t) dt$，则$F'(x)=f(x)$。$F(x)$严格单调增当且仅当$f(x)>0$。 步骤2：$f(x)$是偶函数，在$(-\infty,0)$上有唯一零点$x_0=-1$，且$f'(-1)=1>0$，故在$x=-1$左侧$f(x)<0$，右侧$f(x)>0$。 步骤3：由偶函数对称性，在$(0,+\infty)$上，$f(x)$在$x=1$处有唯一零点，且$f'(1)=-1<0$，故在$x=1$左侧$f(x)>0$，右侧$f(x)<0$。 步骤4：因此$f(x)>0$的区间为$(-1,1)$，即$F(x)$的严格单调增区间为$(-1,1)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定F(x)的单调性与f(x)符号的关系
由F(x)=∫₀ˣ f(t)dt，得F'(x)=f(x)。F(x)严格单调增当且仅当f(x)>0。
公式：F'(x)=f(x)
提示：注意F(x)的导数就是被积函数f(x)。
步骤 2/4
目标：分析f(x)在(-∞,0)上的符号
f(x)是偶函数，在(-∞,0)上有唯一零点x₀=-1，且f'(-1)=1>0，故在x=-1左侧f(x)<0，右侧f(x)>0。
提示：利用导数的符号判断零点附近的函数值符号。
步骤 3/4
目标：利用偶函数对称性分析f(x)在(0,+∞)上的符号
由偶函数性质，f(x)在(0,+∞)上关于y轴对称，在x=1处有唯一零点，且f'(1)=-1<0，故在x=1左侧f(x)>0，右侧f(x)<0。
提示：偶函数的导数在对称点处互为相反数。
步骤 4/4
目标：确定f(x)>0的区间，即F(x)的严格单调增区间
综合以上，f(x)>0的区间为(-1,1)，故F(x)的严格单调增区间为(-1,1)。
提示：注意区间端点是否包含需根据严格单调增的定义判断，此处开区间即可。
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