kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【强化篇】第11题（选择题） 11．已知 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{a}+x^{b}} \mathrm{~d} x$ 收敛，且 $a>b>0$ ，则 ． （A）$a \leqslant 1$ （B）$b \leqslant 1$ （C）$a>1$ （D）$b>1$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：考虑$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^a+x^b} dx$，$a>b>0$。当$x\to +\infty$时，分母中$x^a$占主导，$\displaystyle \frac{1}{x^a+x^b} \sim \frac{1}{x^a}$。 步骤2：由比较判别法，$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^a} dx$收敛当且仅当$a>1$，故原积分收敛的必要条件是$a>1$。 步骤3：但需考虑$x=1$附近无瑕点，故只需$a>1$即可保证收敛。然而选项中有$a>1$和$b>1$，需判断哪个是充分必要条件。 步骤4：若$a>1$，则$\displaystyle \frac{1}{x^a+x^b} \le \frac{1}{x^a}$，积分收敛。若$a\le 1$，则$\displaystyle \frac{1}{x^a+x^b} \ge \frac{1}{2x^a}$（当$x$充分大时），积分发散。故$a>1$是充要条件。 步骤5：但选项D为$b>1$，这不一定，例如$a=2,b=1.5$时收敛，但$b>1$成立；若$a=2,b=0.5$时也收敛，但$b<1$。故$b>1$不是必要条件。正确选项应为$a>1$，即C。 **难度**：★★★☆☆