kaoyan1basic 高等数学 第12题

**答案**：A **解析**：步骤1：由条件，$f(x)$在$[0,2]$上单调连续，且$f(0)=1,f(2)=2$，故$f$严格单调增（因为$f(0)\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，即$f$是严格凹函数？注意：$\displaystyle f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$表示$f$是凹函数（上凸）。故$f$是凹函数。 步骤4：凹函数在$[0,2]$上，$f(0)=1,f(2)=2$，连接端点直线$\displaystyle y=1+\frac{x}{2}$，凹函数图像在直线下方，故$\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) dx < \int_{0}^{2} (1+\frac{x}{2}) dx = 3$。 步骤5：$P=\int_{1}^{2} g(x) dx = 2\cdot 2 - \int_{0}^{2} f(x) dx = 4 - \int_{0}^{2} f(x) dx > 4-3=1$，且$P<4- \int_{0}^{2} 1 dx = 4-2=2$？需更精确：由于$f$凹，$\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) dx > \frac{1}{2}(f(0)+f(2))\cdot 2 = 3$？凹函数积分大于梯形面积？实际上凹函数图像在弦下方，积分小于梯形面积，故$\int_{0}^{2} f(x) dx < 3$，所以$P>1$。又$f(x)\ge 1$，故$\int_{0}^{2} f(x) dx \ge 2$，$P\le 2$。但$P$可能大于2？由$f$凹，$\displaystyle f(x)\le 1+\frac{x}{2}$，$\int_{0}^{2} f(x) dx \le 3$，$P\ge 1$；下界：$f(x)\ge 1$，$\int_{0}^{2} f(x) dx \ge 2$，$P\le 2$。故$11$。又$f(x)\ge 1$，$\int_{0}^{2} f(x) dx \ge 2$，$P\le 2$。故$1