kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（选择题） 12．设 $p$ 为常数，若反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{p}(1-x)^{1-p}} \mathrm{~d} x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 ． （A）$(-1,1)$ （B）$(-1,2)$ （C）$(-\infty, 1)$ （D）$(-\infty, 2)$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：积分$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^p (1-x)^{1-p}} dx$有两个瑕点：$x=0$和$x=1$。 步骤2：在$x=0$附近，$\ln x \sim \ln x$，$(1-x)^{1-p} \sim 1$，被积函数$\displaystyle \sim \frac{\ln x}{x^p}$，收敛当且仅当$p<1$（因为$\displaystyle \int_{0}^{\delta} \frac{\ln x}{x^p} dx$收敛当$p<1$）。 步骤3：在$x=1$附近，令$t=1-x$，则$x=1-t$，$\ln x = \ln(1-t) \sim -t$，$x^p \sim 1$，$(1-x)^{1-p}=t^{1-p}$，被积函数$\displaystyle \sim \frac{-t}{t^{1-p}} = -t^{p}$，积分$\int_{0}^{\delta} t^{p} dt$收敛当且仅当$p>-1$。 步骤4：综合，需$p<1$且$p>-1$，即$-1
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别瑕点
积分区间为(0,1)，被积函数在x=0和x=1处可能发散，因此有两个瑕点：x=0和x=1。
提示：注意分母中x^p和(1-x)^{1-p}在端点处可能为零。
步骤 2/4
目标：分析x=0附近的收敛性
在x=0附近，ln x ~ ln x， (1-x)^{1-p} ~ 1，被积函数 ~ ln x / x^p。考虑积分∫_0^δ (ln x)/x^p dx，该积分收敛当且仅当p<1。
公式：∫_0^δ (ln x)/x^p dx 收敛 ⇔ p<1
提示：比较判别法：当p<1时，ln x/x^p的阶低于1/x^q（q<1），积分收敛。
步骤 3/4
目标：分析x=1附近的收敛性
令t=1-x，则x=1-t，ln x = ln(1-t) ~ -t，x^p ~ 1， (1-x)^{1-p}=t^{1-p}，被积函数 ~ -t / t^{1-p} = -t^p。考虑∫_0^δ t^p dt，该积分收敛当且仅当p>-1。
公式：∫_0^δ t^p dt 收敛 ⇔ p>-1
提示：注意ln(1-t)~-t，且t^p在t=0处可积的条件。
步骤 4/4
目标：综合条件
由x=0处得p<1，由x=1处得p>-1，因此p的取值范围是-1
提示：两个条件需同时满足。
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