kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（选择题） 13．下列反常积分中，发散的是（ ）． （A） $\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ （B） $\int_{-\infty}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ （C） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ （D） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：A：$\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx = 1$，收敛。 步骤2：B：$\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2} dx$，被积函数为奇函数，积分区间对称，若收敛则值为0。实际上$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}$，故原积分收敛于0。 步骤3：C：$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\arctan x}{1+x^2} dx$，被积函数为奇函数，$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{1+x^2} dx = \frac{\pi^2}{8}$，故原积分收敛于0。 步骤4：D：$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} dx$，被积函数为奇函数，但$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} dx$发散（因为$\displaystyle \frac{x}{1+x^2} \sim \frac{1}{x}$），故原积分发散。 **难度**：★★☆☆☆