kaoyan1basic 高等数学 第13题

**答案**：A **解析**：步骤1：积分$\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{1}{|\ln x|^a} dx$，瑕点为$x=0$和$x=1$（因为$\ln 1=0$）。 步骤2：在$x=0$附近，$\ln x \sim \ln x$，$|\ln x|^a \sim |\ln x|^a$，$\displaystyle \int_{0}^{\delta} \frac{1}{|\ln x|^a} dx$收敛对任意$a$（因为$\displaystyle \frac{1}{|\ln x|^a}$比任何幂函数增长慢）。 步骤3：在$x=1$附近，令$t=1-x$，则$\ln x = \ln(1-t) \sim -t$，$|\ln x|^a \sim t^a$，被积函数$\displaystyle \sim \frac{1}{t^a}$，积分$\displaystyle \int_{0}^{\delta} \frac{1}{t^a} dt$收敛当且仅当$a<1$。 步骤4：但需注意$x=2$处无瑕点。故收敛条件为$a<1$，即选项B。 **难度**：★★★☆☆