kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【基础篇】第14题（选择题） 14．若反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x) x^{1-p}} \mathrm{~d} x$ 收敛，则（ ）． （A）$p<1$ （B）$p>1$ （C） $0
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：积分$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)x^{1-p}} dx$，瑕点为$x=0$和$x=+\infty$。 步骤2：在$x=0$附近，$\ln x \sim \ln x$，$(1+x) \sim 1$，被积函数$\displaystyle \sim \frac{\ln x}{x^{1-p}}$，收敛当且仅当$1-p<1$即$p>0$（因为$\displaystyle \int_{0}^{\delta} \frac{\ln x}{x^{\alpha}} dx$收敛当$\alpha<1$）。 步骤3：在$x=+\infty$附近，$\ln x$增长慢，$(1+x) \sim x$，被积函数$\displaystyle \sim \frac{\ln x}{x \cdot x^{1-p}} = \frac{\ln x}{x^{2-p}}$，收敛当且仅当$2-p>1$即$p<1$。 步骤4：综合，需$0
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别瑕点
积分区间为[0,+∞)，瑕点为x=0和x=+∞。
提示：注意被积函数在x=0处可能发散，在x=+∞处也可能发散。
步骤 2/4
目标：分析x=0附近的收敛性
当x→0+时，ln x ~ ln x，1+x ~ 1，被积函数 ~ ln x / x^{1-p}。积分∫_0^δ (ln x / x^{1-p}) dx收敛当且仅当1-p < 1，即p > 0。
公式：∫_0^δ (ln x / x^α) dx收敛当α < 1
提示：比较判别法：ln x增长慢于任何幂函数，但需注意α<1时收敛。
步骤 3/4
目标：分析x=+∞附近的收敛性
当x→+∞时，ln x增长慢，1+x ~ x，被积函数 ~ ln x / (x * x^{1-p}) = ln x / x^{2-p}。积分∫_M^+∞ (ln x / x^{2-p}) dx收敛当且仅当2-p > 1，即p < 1。
公式：∫_M^+∞ (ln x / x^β) dx收敛当β > 1
提示：注意ln x增长慢，不影响幂次比较。
步骤 4/4
目标：综合条件
由x=0处得p>0，由x=+∞处得p<1，故0
提示：两个条件需同时满足。
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