kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【强化篇】第14题（填空题） 14．若反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(\mathrm{e}^{-\cos \frac{1}{x}}-\mathrm{e}^{-1}\right) x^{k} \mathrm{~d} x$ 收敛，则 $k$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$k<2$ **解析**：步骤1：考虑$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} (e^{-\cos \frac{1}{x}} - e^{-1}) x^k dx$，当$x\to +\infty$时，$\displaystyle \frac{1}{x}\to 0$，$\displaystyle \cos \frac{1}{x} \sim 1 - \frac{1}{2x^2}$，故$\displaystyle e^{-\cos \frac{1}{x}} \sim e^{-1+\frac{1}{2x^2}} = e^{-1} e^{\frac{1}{2x^2}} \sim e^{-1}(1+\frac{1}{2x^2})$。 步骤2：因此$\displaystyle e^{-\cos \frac{1}{x}} - e^{-1} \sim e^{-1} \cdot \frac{1}{2x^2}$，被积函数$\displaystyle \sim \frac{e^{-1}}{2} x^{k-2}$。 步骤3：积分$\int_{1}^{+\infty} x^{k-2} dx$收敛当且仅当$k-2<-1$，即$k<1$。 步骤4：故$k$的取值范围为$k<1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析被积函数在无穷远处的渐近行为
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，利用 $\cos t \sim 1 - \frac{t^2}{2}$ 得 $\cos \frac{1}{x} \sim 1 - \frac{1}{2x^2}$，进而 $e^{-\cos \frac{1}{x}} \sim e^{-1+\frac{1}{2x^2}} = e^{-1} e^{\frac{1}{2x^2}} \sim e^{-1}\left(1+\frac{1}{2x^2}\right)$。
公式：$\cos t \sim 1 - \frac{t^2}{2}$ 当 $t \to 0$；$e^u \sim 1+u$ 当 $u \to 0$
提示：注意使用等价无穷小替换时需确保替换后的表达式与原函数之差为高阶无穷小。
步骤 2/3
目标：得到被积函数的等价形式
由第一步得 $e^{-\cos \frac{1}{x}} - e^{-1} \sim e^{-1} \cdot \frac{1}{2x^2}$，因此被积函数 $(e^{-\cos \frac{1}{x}} - e^{-1}) x^k \sim \frac{e^{-1}}{2} x^{k-2}$。
公式：$e^{-\cos \frac{1}{x}} - e^{-1} \sim \frac{e^{-1}}{2x^2}$
提示：等价无穷小替换后，被积函数化为常数乘以 $x^{k-2}$。
步骤 3/3
目标：判断反常积分的收敛性
积分 $\int_1^{+\infty} x^{k-2} dx$ 收敛当且仅当 $k-2 < -1$，即 $k < 1$。由于等价无穷小替换不改变积分的收敛性，原积分收敛当且仅当 $k < 1$。
公式：$\int_1^{+\infty} x^p dx$ 收敛当且仅当 $p < -1$
提示：注意比较判别法的使用条件：被积函数非负且等价时收敛性相同。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。