kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（选择题） 15．下列反常积分收敛的是（）。 （A） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ （B） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ （C） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ （D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\ln ^{2}(1+x)} \mathrm{d} x$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：对于(A)，$\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} dx = \int_{2}^{+\infty} \frac{d(\ln x)}{\ln x} = \ln(\ln x)\big|_{2}^{+\infty}$，发散。 步骤2：对于(B)，$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$，收敛。 步骤3：对于(C)，在$x=0$处，$\displaystyle \frac{1}{\sin x} \sim \frac{1}{x}$，$\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx$发散，故原积分发散。 步骤4：对于(D)，在$x=0$处，$\displaystyle \frac{x}{\ln^2(1+x)} \sim \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$，$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx$发散，故原积分发散。 **难度**：★★☆☆☆