kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【强化篇】第15题（选择题） 15．下列反常积分中发散的是 ． （A） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ （B） $\int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ （C） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^{2} x}$ （D） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x+2) \ln ^{2}(x+2)}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：对于(A)，$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx$，在$x=0$附近$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}$可积，在无穷远处指数衰减，收敛。 步骤2：对于(B)，$\int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-x^2} dx$，指数衰减，收敛。 步骤3：对于(C)，$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x \ln^2 x}$，在$x=1$处为瑕点，$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x \ln^2 x} = \int_{1}^{+\infty} \frac{d(\ln x)}{\ln^2 x} = -\frac{1}{\ln x}\big|_{1}^{+\infty}$，在$x=1$处发散；且$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{x \ln^2 x}$在$x=1$处也发散，故整体发散。 步骤4：对于(D)，$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(x+2)\ln^2(x+2)} = \int_{2}^{+\infty} \frac{du}{u \ln^2 u} = -\frac{1}{\ln u}\big|_{2}^{+\infty} = \frac{1}{\ln 2}$，收敛。 **难度**：★★☆☆☆