kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【基础篇】第16题（填空题） 16． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\sqrt{n^{2}-1}+\sqrt{n^{2}-2^{2}}+\cdots+\sqrt{n^{2}-(n-1)^{2}}\right]=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ **解析**：步骤1：原式$\displaystyle =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{1 - \left(\frac{k}{n}\right)^2} \cdot \frac{1}{n} = \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$。 步骤2：$\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$表示半径为1的圆在第一象限的面积，即$\displaystyle \frac{\pi}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将极限表达式转化为定积分形式
原式 = lim_{n→∞} (1/n) * Σ_{k=1}^{n-1} sqrt(1 - (k/n)^2) * (1/n) = ∫_0^1 sqrt(1-x^2) dx
公式：lim_{n→∞} (1/n) Σ_{k=1}^{n} f(k/n) = ∫_0^1 f(x) dx
提示：注意将求和中的项改写为f(k/n)的形式，并乘以1/n，其中f(x)=sqrt(1-x^2)。
步骤 2/2
目标：计算定积分
∫_0^1 sqrt(1-x^2) dx 表示半径为1的圆在第一象限的面积，即 π/4。
公式：∫_0^1 sqrt(1-x^2) dx = π/4
提示：利用几何意义：圆面积的四分之一。
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